No.300 最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的 子序列 。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 2500
• -10^4 <= nums[i] <= 10^4

进阶：

你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?

解题思路

实现

贪心 + 查找

• 贪心思路：如果要使上升子序列尽可能的长，则需要让序列上升得尽可能慢，因此希望每次在上升子序列最后加上的那个数尽可能的小。
• 算法流程：
  • 当遍历的数字 > 记录最后一项末尾数字时，新增记录
  • 否则，找到记录中第一个末尾大于该数字的记录(可用二分查找进行优化)，更改其末尾
• 优化：由于都是通过操作末尾项，因此可以转换为一维数组来解决此问题

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var lengthOfLIS = function (nums) {
  if (nums.length === 0) return 0

  const tails = [nums[0]] // 原数组第 0 项

  for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
    if (nums[i] > tails[tails.length - 1]) {
      tails.push(nums[i])
    } else {
      // 这里的查找方式可以优化为二分查找
      const index = tails.findIndex(x => x >= nums[i])
      tails[index] = nums[i]
    }
  }

  return tails.length
};

动态规划

• 确定 dp 数组及下标含义

dp[i] 表示 [0, i] 区间内以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度

• 确定递推公式：dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1)

如果 nums[i] > nums[j] 则说明当前元素复合递增子序列，则 dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1)

如果 nums[i] < nums[j] 则说明当前元素不符合递增子序列，则什么都不做

• 如何初始化 dp 数组

每一个 i，对应的 dp[i] (即最长递增子序列)起始大小至少都是 1

• 确定遍历顺序

dp[i] 是有 [0, i-1] 各个位置的最长递增子序列推导而来，那么遍历 i 一定是从前向后遍历

• 举例推导 dp 数组

以 nums = [1, 3, 6, 7, 9, 4, 10, 5, 6] 为例：

• 复杂度

1. 时间复杂度：O(n^2)，遍历计算 dp 列表需 O(n)，计算每个 dp[i] 需 O(n)
2. 空间复杂度：O(n)

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var lengthOfLIS = function (nums) {
  let n = nums.length;
  if (n === 0) return 0;

  let dp = new Array(n).fill(1);

  for (let i = 0; i < n; i++) {
    for (let j = 0; j < i; j++) {
      if (nums[i] > nums[j]) {
        dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
      }
    }
  }

  return Math.max(...dp);
};